Теорема Ферма: формулировка и понимание

1. История Великой теоремы

Великая Теорема Ферма была сформулирована Пьером де Ферма в 1672 г., она гласит, что уравнение:

aⁿ + bⁿ = cⁿ не имеет решений в целых, кроме нулевых значений, при n > 2    (1)

Когда n = 2, мы имеем дело с привычной теоремой Пифагора, при этом существует бесконечное число решений уравнения в целых числах - Пифагоровы тройки. Примеры Пифагоровых троек известны: (3, 4, 5); (5, 12, 13); (15, 8, 17) и др. Со времён Евклида был найден целый ряд способов генерации Пифагоровых троек. Из школьного куса математики легко понять, что Пифагоровы тройки имеют наглядную интерпретацию в терминах геометрии рациональных точек на единичной окружности. Эйлер в 1770 году доказал теорему (1) для случая n=3, Дирихле и Лежандр в 1825 — для n=5, Ламе — для n=7. Куммер показал, что теорема верна для всех простых n, меньших 100.

Центрнаучфильм "Математик и чёрт"  *

Математик предлагает продать душу дьяволу за то, чтобы тот доказал или опроверг теорему Ферма.

В сентябре 1994 года профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс [4] доказал теорему (1), для всех n, но это доказательство, насчитывающее свыше ста сорока страниц, понятных лишь профильным специалистам в теории чисел, нельзя уместить на полях перевода «Арифметики» Диофанта, «если бы они были немного шире», по выражению самого Пьера де Ферма, утверждавшего, что он «нашёл поистине чудесное доказательство, но поля здесь слишком узки, чтобы вместить его». 

Необычайная красота и лаконичность формулировки Великой теоремы Ферма заставляют искать наглядное решение.  Итак, для n ≥ 3 Пифагоровых троек найти ещё никому не удалось. Почему?

Режиссёр: Семён Райтбурт
Сценарист: Семён Райтбурт
Оператор: Павел Тартаков
Художник: Леонид Чибисов
Страна: СССР
Производство: Центрнаучфильм, ТО "Радуга"
Год: 1972
Актёры: Всеволод Шестаков, Александр Кайдановский, Алла Покровская
Жанр: экранизация
По мотивам рассказа Артура Порджеса "Саймон Флэгг и дьявол". 

Математик предлагает продать душу дьяволу за то, чтобы тот доказал или опроверг теорему Ферма.

2. Предубеждения

3. Наглядная интерпретация Великой Теоремы

Рассмотрим следующую интерпретацию* Великой Теоремы

Если Пьер де Ферма утверждал, что нашёл воистину чудесное решение и лишь узкие поля Арифмкетики Диофанта мешают его воспроизвести! 

Значит это решение он увидел. Попробуем понять его логику с позиции метода геометрической алгебры, известной во времён Евклида ещё за 300 лет до Новой Эры.

Если тройка целых чисел aⁿ + bⁿ = cⁿ существует, то ей можно сопоставить три гиперкуба с указанными целочисленными рёбрами, вписав многомерные кубы друг в друга (центры гиперкубов совмещены с началом координат), при этом объём малого гиперкуба aⁿ равен разности объёмов cⁿ - bⁿ.

Удивительно, что одновременно выполняются условие равенства объёмов и свойства центральной симметричности, непрерывности образованной фигуры из трёх кубов!

* интерпретация от слова to interpret , что значит переводить, объяснять.

3.1. Отторожение краткого доказательства

Хотя краткость наглядность и новизна этого доказательства очевидны, оно вызвало негодование со стороны ряда учёных из-за использование автором “неточной” и нематематической терминологии: слой, однородность, симметричность, перемещение и укладка слоя несколько раз. Но главное возражение вызвало представление структуры гиперкуба и его сечение двумерной плоскостью. (Ниже мы убедимся, что уместнее говорить не о сечении, а о пронзании  четырёх  и более мерного гиперкуба двумерной плоскостью). Сразу можно возразить: во времена Пьера де Ферма ещё не было такой узкой специализации в науке, как это сложилось в современной физике и математике с их многочисленными подразделами и секциями, а также не был принят строгий формализм в доказывании, уместный для описания сложных многоплановых явлений современной науки,  поэтому с позиции знаний XVII века было достаточно приведенного выше краткого доказательства. Вместе, с тем, краткое доказательство выдерживает проверку и со строго научных позиций современной науки. Убедимся в этом.

4. Основные математические знания

Эту главу можно пропустить тем, кто владеет основами математики и комбинаторики. Здесь рассматриваются: Теорема Пифагора и её наглядное доказательство. Марат Авдыев и Марина Фомина обсуждают:

Основные формулы для вывода Биноминальных коэффициентов, Треугольник Паскаля. Числа Фибоначчи 

Формуле соответствует фигура. Масштабирование. Обсуждается вопрос о том, реально ли n - мерное пространство?

4.1. Целые, рациональные, иррациональные числа

Ознакомимся с тем, что такое натуральные, целые, рациональные, иррациональные числа.

Важно хорошо понимать обозначения: N₀, N₁, Z, R 

Почему рёбра трёх гиперкубов aⁿ  +  bⁿ =  cⁿ,  разные?

Предположим обратное и . . . придём к противоречию

4.2. Трёх и n- мерная система координат

Представим себе, что Вы управляете дроном. Пульт управления необычен. Он имеет кнопочки, задающие движения:

• на Север,
  
• на Юг,
  
• на Запад
  
• на Восток
• Вниз
• Вверх

Сам дрон имеет гирокомпас и отлично ориентируется в пространстве, ожидая Ваших команд. 

Допустим, Вам требуется доставить пакет с вакциной от корнавируса на 10-ый этаж и аккуратно подать его в окно.

Вы находитесь в начале координат, а пункт назначения - 10 м на Восток, 10 м. на Север, и 20 м. вверх. Эти координаты можно задать так:

Пункт назначения точка  P = (10, 10, 20)

В координатных осях

При этом подразумевается, что мысленно мы используем оси: 

Запад -Восток - ось Х

Юг- Север - ось Y

Низ-Верх -  ось Z

А теперь, допустим, Вы производите запуск с балкона небоскрёба.

Если бы окно находилось по отношению к Вам на 20 м. западнее, на 5 м. южнее и на15 м. ниже Вашего балкона, то координаты точки P = (-10, -5б -15)

Это так называемая Декартова система координат по имени математика и философа Рене Декарта.

Наглядный двумерный случай Декартовой системы координат - это шахматная доска, это плоская карта местности.

Каждая точка однозначно определяется двумя координатами.

Как бы Вы объяснили двумерному существу?

Как бы Вы объяснили двумерному существу третье измерение - высоту? Предположим, что в совершенно плоском мире Вы ведёте диалог с философом, имеющим богатое творческое воображение, Вы принялись бы объяснять, как можно повернуть ботинок, больше напоминающий в этом случае стельку от обуви, в третьем измерении и сделать из правого ботинка левый и наоборот. 

Точно так же трёхмерный ботинок можно разверзнуть в четырехмерном пространстве и сделать правый левым , а а левый - правым.

Итак, в многомерном пространстве координаты любой точки  P задаются относительно начала координат выражением:

P = (x₁, x₂, . . . x_n)

а вектор соединяющий начало координат - точку (0, 0,0 . . .  0) и точку P именуется радиус вектором например A, B, C

его компоненты - это координаты по осям: x₁, x₂, . . . x_n

интересно заметить, что как в дву-трёхмерном пространстве,  так и многомерном пространстве радиус векторы можно складывать - вычитать по-компонентно:

A + B = (a₁ + b₁, a₂, + b₂ . . . . a_n + b_n)

Так например, в физике происходит сложение перемещений, скоростей либо сил.

4.3. Геометрия и стереометрия

Как рассчитать объем слоя шара и площадь сферы? Для этого достаточно покрасить.шар, сосчитать объем затраченной краски и разделить на толщину слоя. Чем больше радиус шара, чем аккуратнее проводятся малярные работы - тем точнее результат. С другой стороны, после покраски радиус шара увеличится на толщину слоя (это будет уже толстый шар), можно определить слой как разность множества точек "толстого" и "тонкого" шара.

Сфера - это поверхность шара или слой нулевой толщины, можно говорить, что это разность толстого и тонкого шаров в пределе. Вся это логика работает для кубов, гиперкубов, гипершара, гиперсферы.

Как увидеть 4-х мерный куб? Немного творческого воображения.

4.4. Многомерные миры Флатла́ндия и др.

Знаете ли Вы что такое Флатландия?

«Флатла́ндия» (англ. „Flatland: A Romance of Many Dimensions“) — роман Эдвина Э. Эбботта, который вышел в свет в 1884 году. Этот научно-фантастический роман считается полезным для людей, изучающих, например, понятия о других пространственных измерениях или гиперпространствах. Как литературное произведение роман ценится из-за сатиры на социальную иерархию викторианского общества. Айзек Азимов в предисловии к одной из многих публикаций романа написал, что это «лучшее введение в способ восприятия измерений, которое может быть найдено».

По этой книге было снято несколько фильмов, в том числе одноимённый художественный фильм 2007 года, в России известный как Плоский Мир.

4.5. Ищем наглядное решение. Теорема Пифигора.