Свойство центральной симметричности

1. Послойное тождество

Рис 6. Гиперкуб размерности 3, рассеченный на гиперпирамиды. Показан лишь один слой.  

Другими словами, в силу свойства центральной симметричности фигуры можно сфокусировать внимание на исследовании слоёв лишь одной из 2n гиперпирамид (треугольника для случая n = 2).

В силу одинаковой структуры всех слоёв в гиперкубе, сосредоточим внимание на элементе  m^n-k1^k - биноминальные коэффициенты  во всех слоях одни и те же, и поэтому они сокращаются при операциях сравнения, сложения, вычитания объёмов слоёв, не играя принципиальной роли. Как было установлено выше из принципа соответствия, размерность элемента dim( m^n-k1^k ) = n–k. Сравнение элементов разных слоёв должно происходить строго с соблюдением этой размерности, иначе при изменении масштаба тожество нарушится.

2. Особый двумерный случай

Рисунок 7 Любые два множества последовательно следующих слоёв S в двумерном пространстве имеют соизмеримые объемы (площади).

При n = 2 сравнение происходит лишь по элементам размерности равной единице - рёбрам. Легко добиться равенства мощностей |{ . . . S_i . . . }| = |{ . . . S_j ... }| для любых ∀ слоёв i, j, что означает количественное равенство гиперкубиков в обоих множествах. Но в общем случае сопоставление одного или множества слоёв из подмножеств точек многомерного пространства cⁿ - bⁿ с объёмом множества слоёв в малом гиперкубе aⁿ равносильно нахождению решения системы из n-1 уравнений:

j^n-1 = k^n-1 + (k-1)^n-1 + (k-2)^n-1 … как минимум два слагаемых или более.

Система из n-1 уравнений (4)

j^n-2 = k^n-2 + (k-1)^n-2 + (k-2)^n-2… как минимум два слагаемых или более.

. . . . . . . . . . .

Здесь имеется в виду, что объём слоя S_j должен быть равен сумме объемов слоёв в силу несжимаемости объёма:

S_k, S_k-1, S_k-2 . . . . (хотя бы два и более слагаемых) следующих последовательно в малом гиперкубе aⁿ в силу свойства непрерывности гиперкуба и необходимости полного заполнения слоёв элементарными гиперкубиками 1ⁿ. Иначе возникнут пустоты - дефект фигуры, нарушатся её свойства центральной симметричности и непрерывности этого множества точек в Rⁿ.

Эта система уравнений продолжается до вторых и первых степеней, т.е. двумерных граней и одномерных ребер. Такая система не разрешима при n > 2 не только в целых, но и в действительных числах R.

2.1. Почему эта система не разрешима?

Эта система уравнений продолжается до вторых и первых степеней, т.е. двумерных граней и одномерных ребер. Такая система не разрешима при n > 2 не только в целых, но и в действительных числах R. Для понимания этого достаточно сосредоточить внимание на последних двух уравнениях в системе:

если сумма катетов прямоугольного треугольника равна гипотенузе и одновременно сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то длина хотя бы один из катетов с необходимостью должен быть равен нулю: c² = (a +b)² = a² + b² + 2ab => a = 0 V b = 0 (V - знак дизъюнкции, логическое ИЛИ). Случай многих слагаемых справа каждого уравнения в системе можно свести лишь в двум, если оперировать не в целых, а в действительных числах R. Между тем, мы исключаем в нашем рассмотрении гиперкубы с нулевым размером ребра. Налицо противоречие, а следовательно система уравнений (4) не разрешима даже в действительных числах R, при n > 2.