Мой доклад на конференции Ломоносов 2020 Секция Математика. Теория чисел. Как учебный фильм это смотреть не интересно.
А вот суть доказательства:
Великая Теоремы Ферма, сформулированная Пьером де Ферма в 1672 г. гласит, что a^n + b^n = c^n не имеет решений в целых, кроме нулевых значений при степени n свыше 2. Доказательство от противного: Если тройка целых чисел a^n + b^n = c^n существует, то ей можно сопоставить три гиперкуба с рёбрами a, b, c, вписанными друг в друга, при это центры гиперкубов совмещены с началом координат. По условиям Теоремы объём малого гиперкуба an должен быть равен разности объёмов c^n - b^n. Легко убедиться, что условие равенства объёмов и свойства симметричности, непрерывности такой Фигуры взаимно исключают друг друга, что налагает запрет на саму возможность существования Фигуры, а вместе с ней — тройки натуральных (легко обобщить на случай целых) чисел. На примере обычного куба уже проявляются закономерности, которые обобщаются на случай пространства большей размерности.
Развивая метод геометрической алгебры Евклида, который спустя две с лишним тысячи лет прочно обосновался в учебниках школы средних классов, для сравнения объёмов достаточно мысленно перемещать послойно элементарные гиперкубы 1^n из множества точек многомерного пространства c^n — b^n, пространства между большим и средним, в малый куб и наоборот. Слой определяется как множество точек многомерного пространства между гиперкубами, рёбра которых отличаются на единицу. Слой, как и вся Фигура, состоит из элементарных гиперкубов 1^n как кирпичный дом. Послойные перемещения не должны нарушать фундаментальных свойств Фигуры - симметрия, непрерывность заполнения слоёв, в противном случае необходимо признать, что исходный материал (элементарные гиперкубы) неоднороден. Между тем с самого начала такая однородность постулируется.
Спроектированная Фигура из трёх вложенных гиперкубов может заполняться послойно от периферии к центру или от центра к периферии подобно строительству каркасного дома. Равные по объему части фигуры очевидно должны иметь эквивалентное число элементарных гиперкубов 1^n. Такие методы использовал Евклид в своих Началах том 2, аналогично действовал Архимед, в своём знаменитом эксперименте по вытеснению воды физическим телом из ванной. Слой из большого гиперкуба должен уложиться целое число раз в малом гиперкубе, а в силу превышения большого над малым - два и более раз, иначе нарушится симметричность Фигуры или в слоях возникнут разрывы — антипод непрерывности, что не допустимо, исходя из основных свойств Фигуры.
Как слой, так и гиперкуб имеет элементы размерности n-1, n-2, ... 1 это гиперграни, соответствующей размерности, грани и рёбра, например в кубе есть шесть граней — квадратов (двумерный гиперкуб) и двенадцать рёбер (одномерный гиперкуб). Объёмы элементов каждой размерности должны быть тождественно равны каждому другому перемещаемому элементу той же размерности в силу несжимаемости объёма и эквивалентности количества элементарных гиперкубов 1^n. Для обеспечения равенства объёмов, и поиска отношений эквивалентности в подмножестве перемещаемых элементарных гиперкубов в виде целого слоя, необходимо решить систему из n -1 уравнений. Эта система не разрешима при n более 2 не только в целых, но и в действительных числах. Каждый слой уникален, операции сложения, сокращения слоёв возможны только при условии разрушения симметрии Фигуры и/или разрывов в следовании слоёв.
Для понимания этого достаточно сослаться на невозможность построения прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна сумме длин катетов. Легко убедиться, что один из катетов обязательно будет равен нулю. Следовательно фигура из трёх вложенных гиперкубов не существует (апория или противоречие) при n более 2, и нет такой тройки чисел, которая нарушила бы Великую Теорему Ферма.
Требуется сделать интересный научный фильм!