Краткое доказательство от противного

Если тройка целых чисел aⁿ + bⁿ = cⁿ существует, то ей можно сопоставить три гиперкуба с указанными целочисленными рёбрами, вписав многомерные кубы друг в друга (центры гиперкубов совмещены с началом координат), при этом объём малого гиперкуба aⁿ равен разности объёмов cⁿ - bⁿ. Легко доказать, что условие равенства объёмов и свойства центральной симметричности, непрерывности образованной фигуры взаимно исключают друг друга. Для этого достаточно мысленно перемещать слой из множества точек многомерного пространства, описываемого формулой cⁿ - bⁿ в малый куб aⁿ и наоборот. Здесь (слой определяется как множество точек многомерного пространства между гиперкубами, рёбра которых отличаются на единицу. Слой, как и вся Фигура, состоит из элементарных гиперкубов 1ⁿ.)

Спроектированная Фигура из трёх вложенных гиперкубов может заполняться послойно от периферии к центру или от центра к периферии подобно строительству каркасного дома. Именно такие методы использовал Евклид в своих Началах [5]. Слой из большого гиперкуба должен уложиться целое число раз в малом гиперкубе (в силу превышения большого над малым - два и более раз), иначе нарушится симметричность Фигуры или в слоях возникнут разрывы, что не допустимо. Как слой, так и гиперкуб имеют элементы размерности n-1, n-2, ... 1 это гиперграни, соответствующей размерности, грани и рёбра. “В пункте назначения” объёмы элементов каждой размерности должны быть тождественно равны объёму соответствующего перемещаемого элемента, в силу принципа несжимаемости объёма твёрдого тела и эквивалентности количества элементарных гиперкубов 1ⁿ. Эти условия приводят к системе из n-1 уравнений, не разрешимой при n > 2 не только в целых, но и в действительных числах. Для иллюстрации достаточно сослаться на невозможность построения прямоугольного треугольник, у которого гипотенуза равна сумме длин катетов. Легко убедиться, что при этих условиях один из катетов обязательно будет равен нулю. Следовательно, фигура из трёх вложенных гиперкубов с целочисленными рёбрами не существует в пространстве размерности более двух (апория или противоречие), и нет такой тройки чисел, которая нарушила бы Великую Теорему Ферма.

Развёртка куба с доказательством Великой Теоремы Ферма

Заметим, что в рассуждениях выше предполагается без изменения общности, что натуральные числа соотносятся как a < b < c, при этом исключается ситуация равенства рёбер a = b в силу иррациональности ⁿ√2. Случай отрицательных чисел может быть рассмотрен путем переноса слагаемого в другую часть уравнения и замены переменных - достаточно доказать теорему для случая натуральных чисел a, b, c и обобщить результат на целые числа.